Usamos integração por partes com

\[ u=(\ln x)^2, \qquad dv=dx. \]

Então \(du=2\ln x\,\frac{1}{x}\,dx\) e \(v=x\). Assim,

\[ \int (\ln x)^2\,dx = x(\ln x)^2 - 2\int \ln x\,dx. \]

Como \(\int \ln x\,dx=x\ln x-x\), obtemos

\[ \int (\ln x)^2\,dx = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x. \]

Portanto,

\[ \colorbox{green!20}{\int (\ln x)^2\,dx = x(\ln x)^2-2x\ln x+2x+C}. \]