Escrevemos a integral como

\[ \int_4^9 y^{-1/2}\ln y\,dy. \]

Usamos integração por partes com

\[ u=\ln y, \qquad dv=y^{-1/2}\,dy. \]

Então \(du=\frac{1}{y}\,dy\) e \(v=2\sqrt{y}\). Logo,

\[ \int y^{-1/2}\ln y\,dy =2\sqrt{y}\ln y-\int 2\sqrt{y}\,\frac{1}{y}\,dy. \]

Como \(\frac{\sqrt{y}}{y}=y^{-1/2}\), obtemos

\[ \int y^{-1/2}\ln y\,dy =2\sqrt{y}\ln y-2\int y^{-1/2}\,dy =2\sqrt{y}\ln y-4\sqrt{y}. \]

Avaliando nos extremos,

\[ \int_4^9 \frac{\ln y}{\sqrt{y}}\,dy =\left[2\sqrt{y}\ln y-4\sqrt{y}\right]_4^9. \]

\[ \colorbox{green!20}{ \int_4^9 \frac{\ln y}{\sqrt{y}}\,dy =12\ln 3-8\ln 2-4 }. \]