Usamos integração por partes com

\[ u=\ln r, \qquad dv=r^3\,dr. \]

Então \(du=\frac{1}{r}\,dr\) e \(v=\frac{r^4}{4}\). Portanto,

\[ \int r^3\ln r\,dr =\frac{r^4}{4}\ln r-\int \frac{r^4}{4}\,\frac{1}{r}\,dr. \]

Assim,

\[ \int r^3\ln r\,dr =\frac{r^4}{4}\ln r-\frac{1}{4}\int r^3\,dr =\frac{r^4}{4}\ln r-\frac{r^4}{16}. \]

Avaliando de \(1\) até \(3\),

\[ \int_1^3 r^3\ln r\,dr =\left[\frac{r^4}{4}\ln r-\frac{r^4}{16}\right]_1^3. \]

\[ \colorbox{green!20}{ \int_1^3 r^3\ln r\,dr =\frac{81}{4}\ln 3-5 }. \]