O Atrator de Lorenz
O Atrator de Lorenz foi introduzido por Edward Lorenz em 1963. Na
animação acima são criadas $10$ mil partículas aleatóriamente numa caixa
muito grande entorno da origem. Cada partícula tem uma velocidade em
cada instante $t$, mas tal velocidade depende apenas do ponto de
$\mathbb{R}^3$ no qual ela se encontra em esse instante. Isto é
conhecido como um campo de velocidades autônomo.
O movimento das partículas segue então este campo de velocidades e se
observa que todas elas se aproximam rapidamente de uma certa região do
$\mathbb{R}^3$, com uma estrutura geométrica complexa que se asemelha a
uma borboleta. É o chamado
Atrator de Lorenz.
Lorenz, um metererologista americano, estava tentando modelar o fenômeno de convecção térmica na atmosfera produzido pelo aquecimento das camadas superiores provocado pelo sol. Neste fenômeno, o ar quente, mais leve, circula para cima criando correntes de ar mais fresco nas camadas inferiores. Após numerosas simplificações, Lorenz chegou no seguinte sistema de equações diferenciais, que é uma forma de indicar a velocidade de uma partícula que se encontra num ponto $(x,y,z)$ no instante $t$: \[ \begin{cases} \dfrac{dx}{dt} = \sigma(y-x) \\ \dfrac{dy}{dt} = \rho x -xz -y \\ \dfrac{dz}{dt} = xy-\beta z. \end{cases} \] Neste sistema $\sigma, \beta$ e $\rho$ são parâmetros usados em mecânica de fluidos. $\sigma$ é o chamado número de Prandtl, ($\sigma = 4.8$ para a água e $\sigma = 1$ para o ar). Lorenz considerou $\sigma =10$ e $\beta = 8/3.$ O parâmetro $ \rho $ é o número de Rayleigh e é geralmente considerado variável. Para $ \rho \le 1 $ a origem é um ponto crítico e um atrator global para as trajetórias. Em $\rho =1$ acontece uma bifurcação tipo pichfork, aparecendo dois pontos críticos atratores, cada um deles atrai metade do $ \mathbb{R}^3$ (você pode apreciar isto variando o valor de $\rho$). Existe então uma bola $ B $ centrada na origem de forma que todas as trajetórias do fluxo entram nessa bola e não podem mais sair, de fato todas as trajetorias se aproximam de um dos pontos críticos que estão dentro dessa bola (isto se vê mais claro quando apagamos o atrator e depois recriamos as partículas).
Aproximadamente em $\rho =24.73$ estes dois pontos críticos se tornam repulsores, expulsando trajetórias muito próximas. No entanto as trajetórias que nascem longe continuam sendo capturadas dentro da bola $B.$ Sendo assim devem existir atratores dentro da bola $B$. Inicialmente estes atratores são trajetórias periódicas atratoras que vão sendo criadas a través de bifurcações. Estas trajetórias periódicas vão também sofrendo outras bifurcações e se tornando repulsoras enquanto $\rho$ aumenta. Para $\rho = 28$ todas as trajetórias periódicas dentro da bola são repulsoras. Desta forma, o atrator dentro da bola $B$ não pode ser uma trajetória periódica e portanto tem estrutura geométrica mais complexa. De fato, sua dimensão de Hausdorff foi calculada em $2.06$ aproximadamente, ou seja o atrator é uma criatura com dimensão fractal, intermediária entre um plano e um $\mathbb{R}^3.$ Conjecturou-se que para $\rho = 28$ o sistema teria um atrator caótico. Nos atratores caóticos, qualquer erro na determinação da posição inicial, por minúsculo que seja, fará a trajetória divergir totalmente da trajetória verdadeira. Isto é o que se conhece como sensibilidade às condições inicias.
Em 1998 foi finalmente demonstrado pelo Warwick Tucker que o atrator dado pelo Lorenz é realmente caótico. Tucker demonstrou este resultado, usando recursos computacionais, enquanto fazia um estágio de pós-doutorado no Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), no Rio de Janeiro. Vale ressaltar que, nesta altura, já era conhecido que o sistema de Lorenz apresentava atratores caóticos para muitos valores dos parâmetros $\sigma, \beta$ e $\rho$ (um conjunto de medida positiva), mas não para os valores específicos dados pelo próprio Lorenz.
O nome de Borboleta de Lorenz tem uma origem curiosa. Lorenz comenta que para um congresso no Washington em 1972, o título da sua palestra seria "Uma gaivota bate as asas no Brazil e cría um tornado no Texas", e por um engano do organizador do congresso, o título ficou como "Uma borboleta bate as asas no Brazil e cría um tornado no Texas". Foi posteriormente, quando foi possível visualizar o atrator, que seu parecido com uma borboleta ficou evidente. Note que Lorenz e seus colegas trabalhavam na época com o equivalente de uma calculadora simples moderna, portanto eles apenas conseguiam visualizar uma coordenada de uma única trajetória de cada vez!
Sobre a borboleta ter sido adotada como símbolo para a sensibilidade nas condições iniciais, Lorenz comenta:
Lorenz, um metererologista americano, estava tentando modelar o fenômeno de convecção térmica na atmosfera produzido pelo aquecimento das camadas superiores provocado pelo sol. Neste fenômeno, o ar quente, mais leve, circula para cima criando correntes de ar mais fresco nas camadas inferiores. Após numerosas simplificações, Lorenz chegou no seguinte sistema de equações diferenciais, que é uma forma de indicar a velocidade de uma partícula que se encontra num ponto $(x,y,z)$ no instante $t$: \[ \begin{cases} \dfrac{dx}{dt} = \sigma(y-x) \\ \dfrac{dy}{dt} = \rho x -xz -y \\ \dfrac{dz}{dt} = xy-\beta z. \end{cases} \] Neste sistema $\sigma, \beta$ e $\rho$ são parâmetros usados em mecânica de fluidos. $\sigma$ é o chamado número de Prandtl, ($\sigma = 4.8$ para a água e $\sigma = 1$ para o ar). Lorenz considerou $\sigma =10$ e $\beta = 8/3.$ O parâmetro $ \rho $ é o número de Rayleigh e é geralmente considerado variável. Para $ \rho \le 1 $ a origem é um ponto crítico e um atrator global para as trajetórias. Em $\rho =1$ acontece uma bifurcação tipo pichfork, aparecendo dois pontos críticos atratores, cada um deles atrai metade do $ \mathbb{R}^3$ (você pode apreciar isto variando o valor de $\rho$). Existe então uma bola $ B $ centrada na origem de forma que todas as trajetórias do fluxo entram nessa bola e não podem mais sair, de fato todas as trajetorias se aproximam de um dos pontos críticos que estão dentro dessa bola (isto se vê mais claro quando apagamos o atrator e depois recriamos as partículas).
Aproximadamente em $\rho =24.73$ estes dois pontos críticos se tornam repulsores, expulsando trajetórias muito próximas. No entanto as trajetórias que nascem longe continuam sendo capturadas dentro da bola $B.$ Sendo assim devem existir atratores dentro da bola $B$. Inicialmente estes atratores são trajetórias periódicas atratoras que vão sendo criadas a través de bifurcações. Estas trajetórias periódicas vão também sofrendo outras bifurcações e se tornando repulsoras enquanto $\rho$ aumenta. Para $\rho = 28$ todas as trajetórias periódicas dentro da bola são repulsoras. Desta forma, o atrator dentro da bola $B$ não pode ser uma trajetória periódica e portanto tem estrutura geométrica mais complexa. De fato, sua dimensão de Hausdorff foi calculada em $2.06$ aproximadamente, ou seja o atrator é uma criatura com dimensão fractal, intermediária entre um plano e um $\mathbb{R}^3.$ Conjecturou-se que para $\rho = 28$ o sistema teria um atrator caótico. Nos atratores caóticos, qualquer erro na determinação da posição inicial, por minúsculo que seja, fará a trajetória divergir totalmente da trajetória verdadeira. Isto é o que se conhece como sensibilidade às condições inicias.
Em 1998 foi finalmente demonstrado pelo Warwick Tucker que o atrator dado pelo Lorenz é realmente caótico. Tucker demonstrou este resultado, usando recursos computacionais, enquanto fazia um estágio de pós-doutorado no Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), no Rio de Janeiro. Vale ressaltar que, nesta altura, já era conhecido que o sistema de Lorenz apresentava atratores caóticos para muitos valores dos parâmetros $\sigma, \beta$ e $\rho$ (um conjunto de medida positiva), mas não para os valores específicos dados pelo próprio Lorenz.
O nome de Borboleta de Lorenz tem uma origem curiosa. Lorenz comenta que para um congresso no Washington em 1972, o título da sua palestra seria "Uma gaivota bate as asas no Brazil e cría um tornado no Texas", e por um engano do organizador do congresso, o título ficou como "Uma borboleta bate as asas no Brazil e cría um tornado no Texas". Foi posteriormente, quando foi possível visualizar o atrator, que seu parecido com uma borboleta ficou evidente. Note que Lorenz e seus colegas trabalhavam na época com o equivalente de uma calculadora simples moderna, portanto eles apenas conseguiam visualizar uma coordenada de uma única trajetória de cada vez!
Sobre a borboleta ter sido adotada como símbolo para a sensibilidade nas condições iniciais, Lorenz comenta:
"talvez a borboleta, com sua aparente fragilidade e falta de poder, seja o símbolo natural daquilo que, sendo muito pequeno, causa grandes efeitos..."
Podemos ver a borboleta batendo as asas se transladamos o atrator da origem (com Ctrl+$\leftrightarrows$, na animação) e depois o rotamos rápidamente.