Exercício 11.9.25
Use a série binomial para expandir \(f(x)=(1-x)^{1/4}\) e indique o raio de convergência.
Solução
A série binomial é \((1+u)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}u^n\), para \(|u|<1\).
Tomando \(\alpha=1/4\) e \(u=-x\), obtemos \((1-x)^{1/4}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/4}{n}(-x)^n\).
Os primeiros termos são \(1-\frac{x}{4}-\frac{3x^2}{32}-\frac{7x^3}{128}-\cdots\).
Resposta.\(\displaystyle (1-x)^{1/4}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/4}{n}(-x)^n\), com raio \(R=1\).