Básico sobre séries

Séries e convergência

Dada uma sequência $(a_n)$, a expressão $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ só ganha um valor quando examinamos suas somas parciais:

Dizemos que a série converge para $L$ quando existe um número real $L$ tal que $\lim_{N\to\infty} S_N=L.$ Denotamos $$ \lim_{N\to\infty} S_N = \sum_{n=1}^{\infty} a_n=L.$$ Se esse limite $L$ não existe ou não é finito, a série diverge. $a_n$ é chamado de termo geral da série. Note que para que a soma total seja finita, intuitivamente sabemos que precisamos sumar valores cada vez menores, e portanto a sequencia $a_n$ deveria tender a zero. De fato, pode ser demonstrado que a condição $a_n\to 0$ é uma condição necessária para que uma série seja convergente, mas essa condição sozinha não garante convergência (ver a seção de testes). Por exemplo, a série $$ \sum_{n=1}^\infty n/(n+1) = 1/2 + 2/3 + 3/4 + \cdots $$ diverge, pois o termo geral $a_n=n/(n+1)\to 1$, não converge para zero.

Testes de convergência

O objetivo dos testes é decidir se a sequência de somas parciais tem limite sem precisar calcular a soma da série.

Em séries de potências, o critério da raiz é especialmente útil: ele separa os valores de $x$ para os quais a série converge dos valores para os quais ela diverge.

Polinômios e séries de Taylor

Quase todas as funções que encontramos em Cálculo podem ser representadas por uma série de potências. A série de Taylor é uma ferramenta que permite aproximar funções por polinômios de grau finito. O polinômio de Taylor de grau $N$ de uma função $f$ em torno de um ponto $a$ é construído a partir das derivadas de $f$ avaliadas em $a$.

Se $f$ possui derivadas suficientes perto de $a$, seu polinômio de Taylor de grau $N$ é

Quando $f(x)=\lim_{N\to\infty}P_N(x)$, para todo $x$ num intervalo entorno de $a$, a função é representada por sua série de Taylor. Para $a=0$, fala-se em série de Maclaurin. O intervalo de convergência da série de Taylor é o mesmo que o da série de potências e se calcula com o critério da raiz, como vimos antes.

Por exemplo, a função exponencial $f(x)=e^x$ tem derivadas iguais a $e^x$, e portanto a derivada de ordem $n$ é $f^{(n)}(x)=e^x$. Assim, a série de Maclaurin ($a=0$) é $$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = 1+ x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots.$$

A função seno $f(x)=\sin x$ tem derivadas que se repetem em ciclos de quatro: $f'(x)=\cos x$, $f''(x)=-\sin x$, $f'''(x)=-\cos x$ e $f^{(4)}(x)=\sin x$. Avaliando em $0$, obtemos a série de Maclaurin $$\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} = x-\frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots.$$

Abaixo vemos uma tabela com algumas funções e suas séries de Maclaurin, bem como o raio de convergência de cada série. Note que a série de Maclaurin da função logarítmica é centrada em $a=1$. Para ver as aproximações de cada função por polinômios de Taylor, veja também Series de Taylor na seção de soluções por séries de equações diferenciais.

Já mencionamos antes que quase todas as funções que encontramos em Cálculo podem ser representadas por uma série de potências. No entanto, é importante saber que existem funções que não podem ser representadas por uma série de potências. Um exemplo clássico é a função $f(x)=e^{-1/x^2}$ para $x\ne 0$ e $f(0)=0$. Ela é infinitamente diferenciável, mas todas as suas derivadas em $x=0$ são nulas. Portanto, a série de Taylor em torno de $x=0$ é a série nula, que não representa a função. Dito de outro modo, o raio de convergência da série de Taylor entorno de $x=0$ é zero. Não entraremos em detalhes sobre funções que não podem ser representadas por séries de potências, mas é importante saber que elas existem.

Exercícios resolvidos

A lista reúne os exercícios assinalados no material de Cálculo II e os cinco exercícios que já faziam parte desta página. Clique em um enunciado para acompanhar a resolução detalhada.