Exercício 11.9.7
Encontre uma série de potências para \(f(x)=\frac{x}{9+x^2}\) e seu intervalo de convergência.
Solução
Fatorando \(9\), \(f(x)=\frac{x}{9}\frac1{1+x^2/9}\). Portanto, \(f(x)=\frac{x}{9}\sum_{n=0}^{\infty}(-x^2/9)^n\).
A condição é \(x^2/9<1\), ou \(|x|<3\). Nos extremos os termos não tendem a zero.
Resposta.\(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{9^{n+1}}\), para \(x\in(-3,3)\).