Exercício 11.2.64
Mostre que \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(1+\frac1n\right)\) diverge, embora seu termo geral tenda a zero.
Solução
Como \(\ln(1+1/n)\to\ln 1=0\), o termo geral tende a zero.
Para as somas parciais, usamos \(\ln a+\ln b=\ln(ab)\): \(S_N=\ln2+\ln\frac32+\cdots+\ln\frac{N+1}{N}\).
O produto é telescópico, logo \(S_N=\ln(N+1)\to\infty\). Portanto, a condição \(a_n\to0\) não é suficiente para a convergência.
Resposta.O termo geral tende a zero, mas a série diverge para \(+\infty\).