Exercício 11.9.3
Encontre uma representação em série de potências para \(f(x)=\frac1{1+x}\) e determine o intervalo de convergência.
Solução
Usamos \(\frac1{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty}u^n\) com \(u=-x\). Assim, \(\frac1{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n\).
A condição geométrica é \(|x|<1\). Em \(x=1\), os termos não tendem a zero; em \(x=-1\), ocorre o mesmo.
Resposta.\(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n\), para \(x\in(-1,1)\).